Jak działa sprzęgacz kierunkowy

(Poniższy artykuł został opublikowany w numerze 2018/11 Świata Radio)

W trakcie prac nad uniwersalnym urządzeniem pomiarowym „radiotester”, opisanym we wcześniejszych numerach ŚR, zetknąłem się z problemem pomiaru współczynnika dopasowania VSWR. Jednym z głównych elementów układu pomiarowego jest sprzęgacz kierunkowy. Było dla mnie zagadką, jak prosty układ zawierający dwa transformatory, jest w stanie wydzielić z sygnału falę padającą i falę odbitą. Chcąc zrozumieć zasadę pracy sprzęgacza, spędziłem wiele godzin przeglądając dostępne w internecie materiały i ostatecznie udało mi się usystematyzować zebrane informacje w zwartą i mam nadzieję zrozumiałą całość. Dodatkowo sporządziłem odpowiednio opisany schemat, ilustrujący opisywane zagadnienie. Do zrozumienia artykułu wystarczą elementarne wiadomości z zakresu elektrotechniki i odrobina algebry.

Opisywany układ pomiarowy ze sprzęgaczem kierunkowym

Ogólna zasada działania i podstawowe założenia

W prezentowanym układzie, sprzęgacz włączony jest pomiędzy źródło sygnału VS a linię transmisyjną, na końcu której znajduje się badane obciążenie ZL. W celu uproszczenia analizy warto jest założyć, że sprzęgacz kierunkowy nie pobiera żadnej energii. Takie założenie ma następujące konsekwencje:

  • na cewce Lnie występuje spadek napięcia. W praktyce jest to krótki kawałek przewodu więc to przybliżenie jest prawie idealne.

  • przez cewkę Lnie płynie żaden prąd. Tutaj rzeczywistość odbiega już bardziej od założeń, jednak praktyka pokazuje, że takie przybliżenie jest w naszych rozważaniach uprawnione.

Dodatkowo musimy poczynić jeszcze następujące założenia:

  • źródło sygnału Vma impedancję wewnętrzną Rrówną impedancji linii transmisyjnej Z(np. impedancji fidera). Tylko wtedy cała energia ze źródła Vzostanie bez odbić przesłana do linii transmisyjnej. Dodatkowo zakładamy, że impedancje ta ma czysto rezystancyjny charakter.

  • rezystory Ri Rmają wartość równą impedancji linii transmisyjnej Z0 .

Mamy więc następującą tożsamość:

\large R_N=R_1=R_2=R_S=Z_0 (1)

Przez przez N oznaczymy liczbę zwojów cewek Li L3. Cewki Li Lmają po jednym zwoju. Teraz możemy przejść do właściwej analizy.

Tor sygnału i uzwojenia pierwotne Tr.1 i Tr.2

Dzięki powyższym założeniom widzimy, że fala odbita może powstać tylko wskutek niedopasowania impedancji odbiornika ZLdo impedancji linii Z0.

Sygnał z generatora VS przepływa bez strat przez cewkę Li jest w całości absorbowany przez linię transmisyjną. Żadna jego część nie ulega odbiciu ani nie odpływa do gałęzi transformatora Tr.2 gdyż założyliśmy, że prąd płynący przez cewkę Ljest pomijalny. Korzystając z tożsamości (1) prąd fali padającej definiujemy jako:

\large I_F = \frac{V_F}{R_N}

(2)

Napięcie fali padającej to spadek napięcia jaki wywołuj prąd IF na impedancji linii transmisyjnej Z0, czyli po zastosowaniu tożsamości (1) mamy:

\large V_F = I_F \cdot R_N

(3)

Analogicznie prąd i napięcie fali odbitej od obciążenia Zzapiszemy tak:

\large I_R = \frac{V_R}{R_N}

(4)

\large V_R = \frac{I_R}{R_N}

(5)

Linia transmisyjna jest tylko medium przekazującym energię z jednego końca na drugi. Zachodzi to w obu kierunkach, więc prąd fali odbitej IR wypływa z linii transmisyjnej po stronie cewki L1 i nakłada się na prąd fali padającej IF. Zauważmy, że prądy te są względem siebie przeciwnie skierowane, więc wypadkowy prąd płynący przez cewkę Lmożna wyrazić wzorem:

\large I = I_L_1 = I_F - I_R

(6)

Analogicznie napięcie Vpojawi się po drugiej stronie linii transmisyjnej i nałoży się na napięcie ze źródła VS, czyli na napięcie fali padającej. Wypadkowe napięcie, które pojawi się na wyjściu (B) sprzęgacza oznaczymy jako V. Jest ono równe:

\large V = V_F + V_R

(7)

W tym przypadku napięcia się dodają ponieważ mają jednakowe polaryzacje. To samo napięcie występuje również na cewce Lwięc VL3 = V.

Zauważmy, że Tr.1 dokonuje niejako pomiaru sumarycznego prądu płynącego w linii transmisyjnej, a Tr.2 mierzy sumaryczne napięcie V. Te dwa transformatory są od siebie całkowicie niezależne. Często dla wygody lub oszczędności są umieszczane na wspólnym rdzeniu, jednak nie ma między nimi sprzężenia.

Istotą działania sprzęgacza kierunkowego jest właśnie pomiar prądu i napięcia na wejściu linii transmisyjnej, w punkcie (B). Jak zostanie pokazane dalej, po zsumowaniu wkładów pochodzących od transformatorów Tr.1 i Tr.2 na wyjściach (C) (D) sprzęgacza pojawią się napięcia związane odpowiednio z napięciami fali padającej i fali odbitej.

Wkład pochodzący od transformatora Tr.1

Transformator Tr.1 mierzy wypadkowy prąd na wejściu linii transmisyjnej, który jest równy różnicy prądów fali padającej i fali odbitej. Przekładnia prądowa Tr.1 wynosi 1/N więc prąd uzwojenia wtórnego Lmożna zapisać jako:

\large I_L_2 = \frac{I_L_1}{N} = \frac{I_F - I_R}{N}

(8)

Rezystory Ri Rmają jednakowe wartości dlatego prąd IL2 rozdziela się na dwa równe sobie prądy IR1 i IR2. Zakładamy, że cewka Lnie stawia prądowi żadnego oporu. Można tak założyć ponieważ cewka ta jest wykonana jako odcinek przewodu. Uwzględniają tożsamość (1) możemy zapisać:

\large I_R_1=I_R_2=\frac{I_{L2}}{2}

po podstawieniu wzoru (8)

\large I_{R1} = I_{R2} = \frac{I_F - I_R}{2N}

(9)

Prądy IR1i IR2 wypływają z masy więc spadki napięć na rezystorach R1i Rmierzone względem masy, będą miały wartości ujemne. Składowe napięcia na rezystorach R1i Rpochodzące od transformatora Tr.1 oznaczymy jako VR1.1i VR2.1:

\large V_{R1.1} = -I_{R1} \cdot R_1   ,   \large V_{R2.1} = -I_{R2} \cdot R_2

po podstawieniu wzoru (9) ostatecznie mamy

\large V_{R1.1} = -\frac{I_F-I_R}{2 N} \cdot R_1   ,  \large V_{R2.1} = -\frac{I_F-I_R}{2 N} \cdot R_2

(10)

Wkład pochodzący od transformatora Tr.2

Transformator Tr.2 mierzy wypadkowe napięcie na wejściu linii transmisyjnej, które jest równe sumie napięć fali padającej i odbitej. Przekładnia napięciowa Tr.2 wynosi 1/N więc napięcie na uzwojeniu wtórnym Lwynosi:

\large V_{L4} = \frac{V_{L3}}{N} = \frac{V_F + V_R}{N}

(11)

Zgodnie z przyjętą konwencją napięcia na rezystorach Ri Rpochodzące od transformatora Tr.2 oznaczymy odpowiednio jako VR1.2 oraz VR2.2. Korzystając z prawa Kirchhoffa dla napięć oraz z faktu, że napięcie VR1.2 jest skierowane przeciwnie do VR2.2, możemy napisać:

\large V_{R1.2}+V_{L4}-V_{R2.2}

=

\large 0
\large V_{R1.2}-V_{R2.2}

=

\large -V_{L4}

podstawiając \large V_{R1.2}=-V_{R2.2}

\large V_{R1.2}+V_{R1.2}

=

\large -V_{L4}

podstawiając wzór (11)

\large 2V_{R1.2}

=

\large -\frac{V_F+V_R}{N}

po przekształceniu ostatecznie mamy:

\large V_{R1.2} = -\frac{V_F+V_R}{2N}  oraz  \large V_{R2.2} = \frac{V_F+V_R}{2N}

(12)

Superpozycja napięć pochodzących z Tr.1 i Tr.2

Napięcia VR1 i VR2 są kluczowe dla naszych rozważań ponieważ są w bezpośrednim związku z napięciami fali padającej i odbitej. Stanowi to samą istotę działania sprzęgacza kierunkowego, od konkluzji dzieli nas już tylko kilka kroków. Obliczmy napięcie VR1:

\large V_{R1} = V_{R1.1} + V_{R1.2}

po podstawieniu wzorów (10) i (12)

\large V_{R1} = -\frac{I_F-I_R}{2N} \cdot R_1 -\frac{V_F+V_R}{2N}

po podstawieniu wzorów (2) i (4) oraz tożsamości (1)

\large V_{R1}=-\frac{\frac{V_F}{R_N} - \frac{V_R}{R_N}}{2N} \cdot R_N - \frac{V_F+V_R}{2N}

\large V_{R1}=\frac{- V_F+V_R-V_F-V_R}{2N}

i ostatecznie:

\large V_{R1} = - \frac{V_F}{N}

(13)

Podobnie wygląda wyprowadzenie dla napięcia VR2:

\large V_{R2} = V_{R2.1} + V_{R2.2}

po podstawieniu wzorów (10) i (12)

\large V_{R2}=-\frac{I_F-I_R}{2N} \cdot R_2 +\frac{V_F+V_R}{2N}

po podstawieniu wzorów (2) i (4) oraz tożsamości (1)

\large V_{R2}=-\frac{\frac{V_F}{R_N} - \frac{V_R}{R_N}}{2N} \cdot R_N+\frac{V_F+V_R}{2N}
\large V_{R2}=\frac{-V_F + V_R+V_F+V_R}{2N}

i ostatecznie :

\large V_{R2}=\frac{V_R}{N}

(14)

Jak widać napięcie VR1 jest proporcjonalne wyłącznie do napięcia fali padającej, a napięcie VR2 do napięcia fali odbitej. W ten sposób uzyskaliśmy pełną separację tych dwóch wielkości, dzięki którym można już obliczyć dopasowanie i pozostałe parametry zazwyczaj podawane przez analizatory wektorowe VNA.

Wyliczenie parametrów dopasowania

W praktyce napięcia VR1 i VR2 doprowadza się do wejścia układu, który oblicza stosunek tych wartości oraz opcjonalnie oblicza również przesunięcie fazowe między nimi. Przykładem jest układ AD8302 firmy Analog Devices. Według noty katalogowej, napięcie na wyjściu VMAG układu jest proporcjonalne do:

\large V_{MAG} = 20 log \left ( \frac{V_{INPA}}{V_{INPB}} \right )

podając napięcie VR2 na wejście INPA oraz –VR1 wejście INPB oraz korzystając ze wzorów (13) i (14) mamy:

\large V_{MAG}=20 log \left ( \frac{V_{R2}}{-V_{R1}} \right )=20 log \left ( \frac{\frac{V_R}{N}}{ \frac{V_F}{N}} \right )=20 log \left ( \frac{V_R}{V_F} \right )

i jest to moduł tzw. współczynnika odbicia, wyrażonego w decybelach, czyli:

\large V_{MAG} = 20 log \left (\left | \Gamma \right | \right )

Jednocześnie na wyjściu VPHS otrzymamy napięcie proporcjonalne do różnicy faz między falą odbitą a padającą. Z tych dwóch wartości możemy skonstruować zespolony współczynnik odbicia Γ.Dzięki niemu można wyliczyć praktycznie wszystko to, co urządzenia typu VNA są w stanie zmierzyć. Przykładowo napięciowy wsp. fali stojącej VSWR obliczamy następująco:

\large VSWR = \frac{1+\left | \Gamma \right |}{1-\left | \Gamma \right |}

(15)

Na tym chciałbym zakończyć niniejszy opis, a bardziej dociekliwych czytelników zachęcam do dalszych, samodzielnych poszukiwań.

Źródła